Theorie: Kraftfluss

Der Begriff Lastpfad bzw. Kraftfluss ist in der Statik umstritten. Über die Analogie zur Kontinuitätsgleichung der Hydrodynamik ist jedoch eine Übertragung auf die Statik eindeutig. Diese Analogie ist in einem BMBF-Projekt aufgezeigt und wird hier erstmals vorgestellt.
 
Der Begriff des Flusses existiert in der Hydrodynamik (aber auch in der Elektro- und Magnetostatik) auf Grund von Erhaltungssätzen. Zum Beispiel folgt aus der Massenkonstanz eines strömenden Mediums direkt die Kontinuitätsgleichung. Damit eng verknüpft sind anschauliche Größen wie Strom- oder Kraftlinie (letztere für die Elektro- und Magnetostatik). Wenn nun gezeigt wird, dass die Differentialgleichungen aus den Erhaltungssätzen der Hydrodynamik (bzw. Elektro- und Magnetostatik) formal identisch sind mit den Differentialgleichungen des statischen Gleichgewichts, so muss der Begriff des Kraftflusses nicht künstlich postuliert werden. Der Einfachheit halber beschränken sich folgende Ausführungen auf die 2-dimensionale Hydrodynamik (quellfrei, reibungsfrei, inkompressibel). Es bestehen keine Einschränkungen bei einer Erweiterung auf 3D.

Hydrodynamische Kontinuität für die Geschwindikeit v
Gl_1.png
Der Geschwindigkeitsvektor
Geschwindigkeitsvektor tangential zur Stromlinie
Gl_2.png
ist mit den Stromlinien aufs engste verknüpft und lässt sich leicht über Differentialgleichungen definieren. So gilt z.B. für die Stromlinie
Richtungsfeld α
Gl_3.png
Die Anschaulichkeit der Stromlinie kann nun ohne Einschränkung auf statische Probleme übertragen werden, wenn die Gleichgewichtsbedingungen der Statik inspiziert werden. Für das statische Gleichgewicht in x- und y-Richtung, ausgedrückt in den Spannungskomponenten, gilt:
Gleichgewicht in x- bzw. y-Richtung
Gl_45.png
Die Gl. (1) ist formal identisch mit Gl. (4) und unabhängig davon mit Gl. (5). Die Analogie gilt jedoch nur für kartesische Systeme. Analog zu Gl. (3) gilt für das Richtungsfeld der Kraftlinien
Richtungsfeld ß bzw. γ für den Kraftfluss in x- bzw. y-Richtung
Gl_67.png
Für die Stromlinien der Gl. (3) gilt: zwischen 2 Stromlinien bleibt der Volumenstrom v A konstant. Für die Kraftlinien (Lastpfadlinien) der Gl. (6) gilt: zwischen 2 Kraftlinien bleibt der Betrag der globalen x-Kraft Fx A konstant. (Def. der Fläche A in 2D: Abstand der Flusslinien multipliziert mit der Einheitsdicke). Die x-Kraft setzt sich zusammen aus Beiträgen der Normalspannung σxx in x-Richtung und der Schubspannung τyx, analoges gilt für die y-Kraft. Die Gl. (2) lässt sich somit ergänzen zu
x- bzw. y-Kraftvektor
Gl2ab.png
Um den x-Kraftfluss der Gl. (6) bzw. den y-Kraftfluss der Gl. (7) nun grafisch darzustellen, müssen deren Richtungsfelder ß bzw. γ integriert werden. Es können dafür CFD-Programme zum Einsatz kommen, oder auch die hier vorgestellte Verfahren CAIOLoadpath.